Как преобразовать десятичную дробь в обыкновенную

Наткнулся на ролик, не мог пройти мимо. Люблю математический мэджик. Вот он.

Навык совершенно бесполезный, но задачка для ума интересная. Мне захотелось увидеть универсальную закономерность. Ведь речь в ролике о простом периоде 0.(6) а что если период будет 0.(123), или число посложнее 0.123(345), или даже 12.345(678). Сказано сделано. Листочик A4, ручка, 10 минут и готово. Дальше привожу несколько примеров, дабы уловить суть. Тут ABCDE - это цифры в числе.

0.AB(CDE) = (ABCDE - AB) / (100000 - 100)
0.AB(CD) = (ABCD - AB) / (10000 - 100)
0.A(BC) = (ABC - A) / (1000 - 10)
0.(ABC) = (ABC - 0) / (1000 - 1)
0.(AB) = (AB - 0) / (100 - 1)
0.(А) = (А - 0) / (10 - 1)

Как понять сколько нолей в числах в разнице в знаменателе? Оно равно количеству цифер в соответсвующих числах в разнице в числителе. 

С целой частью в знаменателе появляется еще один множитель (от чего нули в знаменателе можно посокращать), нолей в котором столько же сколько цифер в целой части:

A.BC(DEF) = 10*(ABCDEF - ABC) / (1000000 - 1000)
ABC.D(EF) = 1000*(ABCDEF - ABCD) / (1000000 - 10000)
AB.CDE(F) = 100*(ABCDEF - ABCDE) / (1000000 - 100000)

Это не формула, а наглядная схема. Математическая формула будет сложнее и наглядность пропадет. Цель увидеть суть.

Но ладно, вот притянутая за уши формула:

[abc.def(ghi)] = M^P(x)*(y - z) / (M^P(y) - M^P(z))
где M - основание системы счисления, в привычном мире равная 10;
P(x) - количество цифер в числе q, например P(123456) = 6, а 10^P(123456) = 1000000;
x - целая часть десятичной дроби [abc];
y - целое число составленное из подряд идущих цифер исходной десятичной дроби: включая целую часть, часть до периода и самого периода [abcdefghi];
z - целое число составленное из подряд идущих цифер исходной десятичной дроби без периода [abcdef].

Математики перекрестятся )